quaternion

• 什么是四元数
• see also and reference

什么是四元数

In mathematics, the quaternions are a number system that extends
the complex numbers.
They were first described by Irish mathematician William Rowan Hamilton in
184312 and applied to mechanics in three-dimensional space.
A feature of quaternions is that multiplication of two quaternions is
noncommutative.
Hamilton defined a quaternion as the quotient of two directed lines
in a three-dimensional space3
or equivalently as the quotient of two vectors.4

Quaternions are generally represented in the form:

where a, b, c, and d are real numbers,
and i, j, and k are the fundamental quaternion units.

相比欧拉角(euler angles) 四元数 (quaternion) 则是一种紧凑、易于迭代、
又不会出现奇异值的表示方法.
它在程序中广为使用, 例如 ros 和几个著名的 slam 公开数据集、
g2o 等程序都使用四元数记录机器人的姿态.
因此, 理解四元数的含义与用法, 对学习 slam 来说是必须的.

四元数仅是 3d 姿态的一种表达方式,
我们用一个单位四元数表达原本用旋转矩阵表示的三维旋转.
这样做一个直接的好处是省空间.
一个旋转阵有 9 个分量, 但只有三个自由度.
那么, 能不能用三个数来描述呢? 可以是可以的,
但不可避免会出现奇异的情况, 欧拉角就是一个例子.
而四元数, 比三维向量多了一个分量, 从而可以无奇异地表示各种姿态.

四元数是 hamilton 找到的一种扩展的复数.
一个四元数拥有一个实部和三个虚部
(故事上说他原先找了很久带两个虚部的, 结果怎么也找不到,
最后豁然开朗找到了三虚部的四元数):

其中 i, j, k 为四元数的三个虚部. 这三个虚部满足关系式:

where i, j, and k are basis elements of H,
determine all the possible products of i, j, and k.

---

All the other possible products can be determined by similar methods,
resulting in

---

由于它的这种特殊表示形式, 有时人们也用一个标量和一个向量来表达四元数:

这里, 标量 r 称为四元数的实部, 而向量 v 称为它的虚部.
如果一个四元数虚部为 0, 称之为实四元数.
反之, 若它的实部为0, 称之为虚四元数. 该定义和复数是相似的.

四元数可以表示三维空间中任意一个旋转. 与旋转矩阵中类似,
我们仍假设某个旋转是绕单位向量:

---

进行了角度为 θ 的旋转, 那么这个旋转的四元数形式为:

\(
\begin{equation} \label{eq:ntheta2quaternion}
\mathbf{q} = \left[
\cos \frac{\theta}{2},
n_x \sin \frac{\theta}{2},
n_y \sin \frac{\theta}{2},
n_z \sin \frac{\theta}{2}\right]^T
\end{equation}
\)

---

事实上 这还是一个模长为 1 的四元数 称为单位四元数.
反之 我们亦可通过任意一个长度为 1 的四元数 计算对应旋转轴与夹角:

\(
\begin{equation} \begin{cases}
\theta = 2\arccos {q_0}\\
{\left[{{n_x},{n_y},{n_z}} \right]^T} =
{{{\left[ {{q_1},{q_2},{q_3}} \right]}^T}}
/ {\sin \frac{\theta }{2}} \end{cases} \end{equation}
\)

对式 θ 加上 2π 我们得到一个相同的旋转 但此时对应的四元数变成了 -1.
因此 在四元数中 任意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示.
同理 取 θ 为 0 则得到一个没有任何旋转的四元数:

\(
\begin{equation} \mathbf{q}_0 = \left[ { \pm 1,0,0,0} \right]^T \end{equation}
\)

---

see also and reference

• https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion
• ..